Effective algorithm for calculation of geometrical characteristics (in Ukrainian)

УДК 514.85

ОБЧИСЛЕННЯ ГЕОМЕТРИЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПОЛІГОНАЛЬНИХ Й ПОЛІЕДРАЛЬНИХ КЛІТИННИХ КОМПЛЕКСІВ

Ю.А. Батрак, доц., канд.техн. наук1

Є. М. Чорний , інж.2

1ЧП «Інтелектуальні морські технології», м. Миколаїв

2Національний університет кораблебудування, м. Миколаїв

Анотація. Зважаючи на те, що кількість граней полігональних та поліедральних клітинних комплексів у практичних задачах розрахунків геометричних характеристик елементів корпуса судна може сягати сотень тисяч, питання ефективності алгоритмів є надзвичайно важливим. У статті наведені прості формули, отримані шляхом аналітичного інтегрування, придатні для побудови ефективних алгоритмів, що виключають накопичення обчислювальної похибки й не залежать від особливостей форми полігонів й просторового розташування граней поверхонь та поліедрів.

Ключові слова: Клітинні комплекси, геометричні характеристики, плоскі області, тіла, поверхні.

Аннотация. Принимая во внимание, что число граней полигональных и полиэдральных клеточных комплексов в практических задачах расчета геометрических характеристик корпуса судна может достигать сотен тысяч, вопрос об эффективности алгоритмов вычислений геометрических характеристик таких объектов является чрезвычайно важным. В статье приведены простые формулы, полученные путем аналитического интегрирования, пригодные для построения эффективных алгоритмов, исключающих накопление вычислительной ошибки и не зависящих от особенностей формы полигонов и пространственного расположения граней поверхностей и полиэдров.

Ключевые слова: Клеточные комплексы, геометрические характеристики, плоские области, тела, поверхности.

Abstract. Taking into account that number of faces of polygonal or polyhedral cell complexes in practical cases can be hundreds of thousands the algorithms for geometric characteristics calculation of ship elements must be as effective as possible. The paper presents simple formulas obtained by analytical integration which are applicable for developing of an effective algorithm, exclude the accumulation of calculation errors and do not depend on polygon shape and face position particularity.

Key words: CW-complexes, geometric characteristics, plane areas, bodies and surfaces.

Постановка проблеми. Геометричні характеристики плоских областей, поверхонь або тіл, обраховуються як певні подвійні, поверхневі та потрійні інтеграли по заданій області.

Мірність такого роду інтегралів в деяких випадках може бути знижена на одиницю за рахунок використання формул Гріна, Стокса й Остроградського-Гаусса [1]. Тобто подвійні й поверхневі інтеграли можуть бути зведені до криволінійних по замкненому контуру, а потрійні – до поверхневих інтегралів по замкненій поверхні, які у свою чергу також можуть бути зведені до криволінійних інтегралів по замкненим контурам. У випадку полігональних й поліедральних клітинних комплексів [2], структури даних, що їх описують, ідеально підходять для здійснення подібного спрощення.

Аналіз останніх досліджень та публікацій.  Ідея застосування описаного підходу не є новою, на його основі в роботі [4] був, отриманий алгоритм обчислення механічних характеристик однорідних поліедрів. Втім, незважаючи на твердження про точність алгоритму, в цій статті не обговорюється питання про вибір допоміжних функцій інтегралів зменшеної мірності, не надаються вагомі аргументи, що підтверджують точність й ефективність алгоритмів особливо в екстремальних випадках. Але чи не найбільшим недоліком, на наш погляд, є те, що в статті не наводяться замкнені формули, якими можна було б скористатися для обчислення окремих інтегралів, не вдаючись до виконання алгоритму, розрахованого на обчислення усіх характеристик одночасно. Крім того, в роботі [5] показана неефективність отриманого алгоритму, й висловлюється припущення про можливість отримання спрощених залежностей на основі такого підходу

Алгоритм, наведений в роботі [5], дозволяє розраховувати не тільки характеристики поліедрів, але й геометричні характеристики поверхонь. Але цей алгоритм базується на представленні області інтегрування сімпліціальним комплексом, тобто для його використання потрібно попереднього триангулювати область інтегрування.

Метою даної роботи є виведення ефективних замкнених формул для обчислення геометричних характеристик областей, представлених довільними полігональними й поліедральними клітинними комплексами, тобто плоских областей, обмежених полігонами, кусочно-лінійних поверхонь та поліедрів.

Викладення основного матеріалу.

Область у двовимірному просторі

З використанням формули Гріна обчислення подвійного інтеграла може бути зведено до обчислення криволінійного інтеграла по контуру, що обмежує область інтегрування:

\displaystyle \iint\limits_{D}{{F(x,y)}}dxdy=\iint\limits_{D}{{\left( {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}-\frac{{\partial P}}{{\partial y}}} \right)}}dxdy=\oint\limits_{L}{{Pdx+Qdy}}.

Нехай контур плоскої області D представляється полігоном L, заданим списком упорядкованих пар координат вершин (xi,yi), i=1,2,3,…,k+1, де k – число сторін полігону. Список вершин полігону у правій системі координат складається обходом полігону проти годинникової стрілки, Рис. 1. При цьому кожен і-й відрізок полігону від першого до k-го своїм початком і кінцем буде мати точки з координатами (xi,yi) і (xi+1,yi+1), які у подальшому будемо позначати як (x1,y1) і (x2,y2).

Рис 1

Рис.1

Обчислення подвійних інтегралів за формулою Гріна вимагає відповідного вибору допоміжних функцій P, і Q. Ці функції можна вибирати декількома способами: можна, наприклад, взяти рівною нулю функцію P або функцію Q, а ту що залишилась підібрати так, щоб отримати потрібну підінтегральну функцію F(x,y), можливо також обидві функції взяти не нульовими.

Автори випробували усі три можливості. Отримані формули для елементів криволінійних інтегралів відрізнялися довжиною й структурою (найдовшими були формули, отримані з використанням двох допоміжних функцій). Під час тестування всі вони, як того й слід було очікувати, дали однаковий результат. Це навело авторів на думку існування в отриманих формулах членів, які компенсують один одного під час обчислення сум.

Щоб упевнитися в цьому, були розглянуті аналітичні вирази для інтегралів по двовимірній області найпростішої форми, яка мала вигляд трикутника. В результаті було з’ясовано, що доданки, які містять лише координати вузла, розташованого між двома відрізками контуру, входять до формул елементів інтегралів суміжних відрізків полігону с протилежними знаками. Тож, якщо виключити ці члени з формул для елементів інтегралів, то, незважаючи на те, що така формула вже не відповідатиме у точності значенню інтеграла по відрізку, підсумкове значення інтеграла по замкненому контуру буде точним. Виключення аналітичним шляхом однакових за модулем доданків дозволяє уникнути малих різниць близьких величин [3].

Після того, як ці члени були видалені з формул, отриманих з використанням різних підходів до вибору допоміжних функцій, усі результати виявилися однаковими, незалежно від вибору допоміжних функцій. Модифіковані формули для елементів криволінійних інтегралів і їх скорочені позначення наведені у Табл. 1. Кортеж (x,y) у скорочених позначеннях формул слід розуміти не як аргументи функції, а як імена першої й другої координатних осей, відповідно до яких слід брати координати вузлів. Наприклад, f(y,z) означатиме y1z2 y2z1, а f(z,x)–z1x2z2x1.

Таблиця 1 Формули для обчислення елементів подвійних інтегралів

Подвійний інтеграл Модифікована формула елемента

криволінійного інтеграла

Скорочене позначення формули
\displaystyle \iint\limits_{D}{{dxdy}} \displaystyle \frac{1}{2}\left( {{{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}}} \right) \displaystyle \frac{1}{2}f(x,y)
\displaystyle \iint\limits_{D}{{xdxdy}} \displaystyle \frac{1}{6}f(x,y)\cdot ({{x}_{1}}+{{x}_{2}}) \displaystyle \frac{1}{6}{{\text{ }\!\!\zeta\!\!\text{ }}_{1}}(x,y)
\displaystyle \iint\limits_{D}{{ydxdy}} \displaystyle \frac{1}{6}f(x,y)\cdot ({{y}_{1}}+{{y}_{2}}) \displaystyle \frac{1}{6}{{\text{ }\!\!\zeta\!\!\text{ }}_{2}}(x,y)
\displaystyle \iint\limits_{D}{{{{x}^{2}}dxdy}} \displaystyle \frac{1}{{12}}f(x,y)\cdot (x_{1}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2}) \displaystyle \frac{1}{{12}}{{\text{ }\!\!\delta\!\!\text{ }}_{1}}(x,y)
\displaystyle \iint\limits_{D}{{{{y}^{2}}dxdy}} \displaystyle \frac{1}{{12}}f(x,y)\cdot (y_{1}^{2}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+y_{2}^{2}) \displaystyle \frac{1}{{12}}{{\text{ }\!\!\delta\!\!\text{ }}_{2}}(x,y)
\displaystyle \iint\limits_{D}{{xydxdy}} \displaystyle \frac{1}{{24}}f(x,y)\cdot [{{x}_{1}}(2{{y}_{1}}+{{y}_{2}})+{{x}_{2}}({{y}_{1}}+2{{y}_{2}})] \displaystyle \frac{1}{{24}}\sigma (x,y)

Продовження таблиці 1

Подвійний інтеграл Модифікована формула елемента

криволінійного інтеграла

Скорочене позначення формули
\displaystyle \iint\limits_{D}{{{{x}^{2}}ydxdy}} \displaystyle \frac{1}{{60}}f(x,y)\cdot [{{x}_{1}}{{y}_{1}}(3{{x}_{1}}+2{{x}_{2}})+x_{1}^{2}{{y}_{2}}+x_{2}^{2}{{y}_{1}}+{{x}_{2}}{{y}_{2}}(2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}})] \displaystyle \frac{1}{{60}}{{\chi }_{1}}(x,y)
\displaystyle \iint\limits_{D}{{x{{y}^{2}}dxdy}} \displaystyle \frac{1}{{60}}f(x,y)\cdot [{{x}_{1}}{{y}_{1}}(3{{y}_{1}}+2{{y}_{2}})+{{x}_{1}}y_{2}^{2}+{{x}_{2}}y_{1}^{2}+{{x}_{2}}{{y}_{2}}(2{{y}_{1}}+3{{y}_{2}})] \displaystyle \frac{1}{{60}}{{\chi }_{2}}(x,y)
\displaystyle \iint\limits_{D}{{{{x}^{3}}dxdy}} \displaystyle \frac{1}{{20}}f(x,y)\cdot (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})({{x}_{1}}+{{x}_{2}}) \displaystyle \frac{1}{{20}}{{\eta }_{1}}(x,y)
\displaystyle \iint\limits_{D}{{{{y}^{3}}dxdy}} \displaystyle \frac{1}{{20}}f(x,y)\cdot (y_{1}^{2}+y_{2}^{2})({{y}_{1}}+{{y}_{2}}) \displaystyle \frac{1}{{20}}{{\eta }_{2}}(x,y)

Площа F, статичні моменти Sx, Sy, моменти інерції відносно координатних осей Jx, Jy, а також відцентровий момент інерції Ixy плоскої області D обчислюються як подвійні інтеграли:

\displaystyle \begin{array}{l}\,F=\iint\limits_{D}{{dxdy,}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{S}_{x}}=\iint\limits_{D}{{ydxdy}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{S}_{y}}=\iint\limits_{D}{{xdxdy,}}\\{{J}_{x}}=\iint\limits_{D}{{{{y}^{2}}dxdy,}}\,\,\,\,\,\,{{J}_{y}}=\iint\limits_{D}{{{{x}^{2}}dxdy}},\,\,\,\,\,\,{{I}_{{xy}}}=\iint\limits_{D}{{xydxdy.}}\end{array}

За допомогою формул Табл. 1 вказані вище інтеграли у випадку області, обмеженою полігоном, зводяться до обчислення таких сум по сторонах полігону:

\displaystyle \begin{array}{l}F=\frac{1}{2}\sum\limits_{{i=1}}^{k}{{f(x,y)[i]}}\,,\,\,\,\,\,\,\,\\\,{{S}_{x}}=\frac{1}{6}\sum\limits_{{i=1}}^{k}{{{{\zeta }_{2}}(x,y)[i]}}\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,{{S}_{y}}=\frac{1}{6}\sum\limits_{{i=1}}^{k}{{{{\zeta }_{1}}(x,y)[i]}},\\{{J}_{x}}=\frac{1}{{12}}\sum\limits_{{i=1}}^{k}{{{{\delta }_{2}}(x,y)[i]}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{{J}_{y}}=\frac{1}{{12}}\sum\limits_{{i=1}}^{k}{{{{\delta }_{1}}(x,y)[i]}},\,\,\,\,\,\,\,\\\,{{I}_{{xy}}}=\frac{1}{{24}}\sum\limits_{{i=1}}^{k}{{\sigma (x,y)[i].}}\end{array}

Плоска область у тривимірному просторі

Рис 2

Рис. 2

Геометричними характеристиками плоскої області у тривимірному просторі є такі величини:

\displaystyle \begin{array}{l}F=\iint\limits_{\Omega }{{d\sigma ,}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{S}_{{yz}}}=\iint\limits_{\Omega }{{xd\sigma }}\,,\,\,\,\,\,\,\,{{S}_{{xz}}}=\iint\limits_{\Omega }{{yd\sigma }},\,\,\,\,\,\,\,\,{{S}_{{xy}}}=\iint\limits_{\Omega }{{zd\sigma }},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{J}_{{yz}}}=\iint\limits_{\Omega }{{{{x}^{2}}d\sigma }}\,,\,\,\,\,\,{{J}_{{xz}}}=\iint\limits_{\Omega }{{{{y}^{2}}d\sigma }},\,\,\,\,\,\,{{J}_{{xy}}}=\iint\limits_{\Omega }{{{{z}^{2}}d\sigma }},\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{I}_{{yz}}}=\iint\limits_{\Omega }{{yzd\sigma }}\,,\,\,\,\,\,\,{{I}_{{xz}}}=\iint\limits_{\Omega }{{xzd\sigma }},\,\,\,\,\,\,\,{{I}_{{xy}}}=\iint\limits_{\Omega }{{xyd\sigma }},\end{array}

де – просторово розташована плоска область, обмежена полігоном, d – елемент плоскої області. Тут подвійні індекси означають координатну площину, відносно якої знаходяться геометричні характеристики.

Решта моментів інерції (три осьових і центральний) можна знайти з використанням знайдених величин за формулами:

Ixx=Jxy+Jzx, Iyy=Jxy+Jyz, Izz=Jyz+Jzx, Io=Jxy+Jyz+Jzx

Здавалося б що у цьому випадку слід діяти так само, як і у випадку полігону на площині, застосовуючи при цьому формулу Стокса:

\displaystyle \iint\limits_{\Omega }{{F(x,y,z)d\sigma =}}\iint\limits_{\Omega }{{\left[ {\,\left( {\frac{{\partial R}}{{\partial y}}-\frac{{\partial Q}}{{\partial z}}} \right)cos\alpha +\,\left( {\frac{{\partial P}}{{\partial z}}-\frac{{\partial R}}{{\partial x}}} \right)cos\beta +\,\left( {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}-\frac{{\partial P}}{{\partial y}}} \right)cos\gamma } \right]}}d\sigma =\oint\limits_{L}{{Pdx+Qdy+Rdz}},але у даній задачі це неможливо зробити, окрім випадку підрахунку площі. Покажемо це на прикладі обчислення статичного моменту Syz, для якого підінтегральна функція F(x,y,z)=x:

\displaystyle \,\left( {\frac{{\partial R}}{{\partial y}}-\frac{{\partial Q}}{{\partial z}}} \right){{n}_{x}}+\,\left( {\frac{{\partial P}}{{\partial z}}-\frac{{\partial R}}{{\partial x}}} \right){{n}_{y}}+\,\left( {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}-\frac{{\partial P}}{{\partial y}}} \right){{n}_{z}}=x.

Тут nx=cos, ny=cos, nz=cos ̶ напрямні косинуси нормалі до поверхні.

Оскільки рівняння одне, а невідомих допоміжних функцій три, то дві з них можуть вибиратися довільно, а третя має визначатися з рівняння. Виберемо \displaystyle R=\frac{{xy}}{{2{{n}_{x}}}}, \displaystyle Q=-\frac{{xz}}{{2{{n}_{x}}}}, тоді функція P повинна задовольняти таким двом умовам:

\displaystyle \frac{{\partial P}}{{\partial z}}=\frac{y}{{2{{n}_{x}}}} і \displaystyle \frac{{\partial P}}{{\partial y}}=-\frac{z}{{2{{n}_{x}}}}.

Диференціюючи перше по y, а друге по z, отримуємо суперечність:

\displaystyle \frac{{{{\partial }^{2}}P}}{{\partial z\partial y}}=\frac{1}{{2{{n}_{x}}}} і \displaystyle \frac{{{{\partial }^{2}}P}}{{\partial z\partial y}}=-\frac{1}{{2{{n}_{x}}}},

тобто підібрати потрібні допоміжні функції для розв’язання поставленої задачі неможливо.

Отже, застосування формули Стокса для розрахуку геометричних характристик поверхні неможливо. У випадку просторово розташованої плоскої області, у якої напрямні косинуси нормалі є константами, інтеграли можна обчислювати, застовуючи формулу Гріна до проекції області на одну з координатних площин.

Якщо проекція здійснюється, наприклад, на площину xOy, то загальна формула буде мати вигляд:

\displaystyle \iint\limits_{\Omega }{{F(x,y)d\sigma =}}\frac{1}{{{{n}_{z}}}}\iint\limits_{{{{D}_{{xy}}}}}{{\left( {\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}-\frac{{\partial P}}{{\partial y}}} \right)}}dxdy=\frac{1}{{{{n}_{z}}}}\oint\limits_{{{{L}_{{xy}}}}}{{Pdx+Qdy}},

де Dxy – проекція плоскої області на площину xOy, Lxy – проекція полігону, що обмежує область, nz косинус кута між нормальним вектором плоскої області і віссю z. Щоб уникнути аналізу розташування нормального вектора площини, внаслідок її двосторонньості, завжди має братися абсолютна величина косинусу {{n}_{\gamma }}=\left| {{{n}_{z}}} \right|Щоб отримати найменшу обчислювальну похибку й уникнути ділення на нуль, у випадку коли просторово розташована область займає окреме положення, слід обирати проекцію на ту з координатних площин, до якої область має найменший нахил. Внаслідок цього загальна формула набуває вигляду:

\displaystyle \iint\limits_{\Omega }{{F(x,y)d\sigma =}}\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}}}\iint\limits_{{{{D}_{{\alpha \beta }}}}}{{\left( {\frac{{\partial Q}}{{\partial \alpha }}-\frac{{\partial P}}{{\partial \beta }}} \right)}}d\alpha d\beta =\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}}}\oint\limits_{{{{L}_{{\alpha \beta }}}}}{{Pd\alpha +Qd\beta }}.

Що брати за , а що за залежить від того, модуль якого з напрямних косинусів має найбільше значення: якщо |nz|, то (,)=(x,y), якщо |nx|, то (,)=(y,z), якщо |ny|, то (,)=(z,x).

Отже, геометричні параметри плоскої області, розташованої у тривимірному просторі можна підрахувати за такими формулами:

\displaystyle \begin{array}{l}F=\frac{1}{{2{{n}_{\gamma }}}}\sum\limits_{{i=1}}^{k}{{f(\alpha ,\beta )[i]}},\\{{S}_{{xy}}}=\frac{1}{{6{{n}_{\gamma }}}}\sum\limits_{{i=1}}^{k}{{{{\xi }_{{xy}}}}}(\alpha ,\beta )[i]\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{{S}_{{yz}}}=\frac{1}{{6{{n}_{\gamma }}}}\sum\limits_{{i=1}}^{k}{{{{\xi }_{{yz}}}}}(\alpha ,\beta )[i]\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{{S}_{{zx}}}=\frac{1}{{6{{n}_{\gamma }}}}\sum\limits_{{i=1}}^{k}{{{{\xi }_{{zx}}}}}(\alpha ,\beta )[i],\\{{I}_{{xy}}}=\frac{1}{{12{{n}_{\gamma }}}}\sum\limits_{{i=1}}^{k}{{{{\psi }_{{xy}}}(\alpha ,\beta )}}[i],\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{{I}_{{yz}}}=\frac{1}{{12{{n}_{\gamma }}}}\sum\limits_{{i=1}}^{k}{{{{\psi }_{{yz}}}(\alpha ,\beta )}}[i],\,\,\,\,\,\,\,\,\\{{I}_{{zx}}}=\frac{1}{{12{{n}_{\gamma }}}}\sum\limits_{{i=1}}^{k}{{{{\psi }_{{zx}}}(\alpha ,\beta )}}[i],\\{{J}_{{xy}}}=\frac{1}{{24{{n}_{\gamma }}}}\sum\limits_{{i=1}}^{k}{{{{\tau }_{{xy}}}}}(\alpha ,\beta )[i],\,\,\,\,\,\,\,\,\\{{J}_{{yz}}}=\frac{1}{{24{{n}_{\gamma }}}}\sum\limits_{{i=1}}^{k}{{{{\tau }_{{yz}}}}}(\alpha ,\beta )[i],\,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{{J}_{{zx}}}=\frac{1}{{24{{n}_{\gamma }}}}\sum\limits_{{i=1}}^{k}{{{{\tau }_{{zx}}}}}(\alpha ,\beta )[i],\end{array}

Формули для величин f, , , наведені у Табл. 2, в залежності від вибору площини проекції. Передбачено варіанти формул для кожної можливої пари (,) координатних осей: 1. (x,y), 2. (y,z), 3. (z,x).

Параметри, що використовуються у Табл. 2, при не нульових nx, ny, nz, обчислюються за формулами:

\displaystyle \begin{array}{l}{{n}_{x}}=A/|\bar{N}|,\,\,\,\,{{n}_{y}}=B/|\bar{N}|,\,\,\,\,{{n}_{z}}=C/|\bar{N}|,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{x}_{0}}=\frac{d}{{{{n}_{x}}}},\,\,\,\,\,\,\,{{y}_{0}}=\frac{d}{{{{n}_{y}}}},\,\,\,\,\,\,{{z}_{0}}=\frac{d}{{{{n}_{z}}}},\,\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,d=-D/|\bar{N}|,\,\,\,\,\,\,|\bar{N}|=\sqrt{{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}+{{C}^{2}}}}.\end{array}

Величини А, В, С, D ̶ коефіцієнти загального рівняння площини, в якій розташована область :

Довільна кусочно-лінійна поверхня у тривимірному просторі

У випадку довільної поверхні, що складається з N граней, результат знайдеться як сума значень по кожній з граней:

\displaystyle \begin{array}{l}F=\frac{1}{2}\sum\limits_{{j=1}}^{N}{{\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}[j]}}}}\sum\limits_{{i=1}}^{{{{k}_{j}}}}{{f(\alpha ,\beta )[j,i]}},\\{{S}_{{xy}}}=\frac{1}{6}\sum\limits_{{j=1}}^{N}{{\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}[j]}}}}\sum\limits_{{i=1}}^{{{{k}_{j}}}}{{{{\xi }_{{xy}}}}}(\alpha ,\beta )[j,i]\,,\,\text{ }\,\,\,\,\,\\{{S}_{{yz}}}=\frac{1}{6}\sum\limits_{{j=1}}^{N}{{\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}[j]}}}}\sum\limits_{{i=1}}^{{{{k}_{j}}}}{{{{\xi }_{{yz}}}}}(\alpha ,\beta )[j,i]\,,\,\,\,\,\,\,\,\,\\{{S}_{{zx}}}=\frac{1}{6}\sum\limits_{{j=1}}^{N}{{\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}[j]}}}}\sum\limits_{{i=1}}^{{{{k}_{j}}}}{{{{\xi }_{{zx}}}}}(\alpha ,\beta )[j,i],\,\,\text{ }\\{{I}_{{xy}}}=\frac{1}{{12}}\sum\limits_{{j=1}}^{N}{{\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}[j]}}}}\sum\limits_{{i=1}}^{{{{k}_{j}}}}{{{{\psi }_{{xy}}}(\alpha ,\beta )}}[j,i],\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\text{ }\\{{I}_{{yz}}}=\frac{1}{{12}}\sum\limits_{{j=1}}^{N}{{\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}[j]}}}}\sum\limits_{{i=1}}^{{{{k}_{j}}}}{{{{\psi }_{{yz}}}(\alpha ,\beta )}}[j,i],\,\text{ }\\\text{ }{{I}_{{zx}}}=\frac{1}{{12}}\sum\limits_{{j=1}}^{N}{{\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}[j]}}}}\sum\limits_{{i=1}}^{{{{k}_{j}}}}{{{{\psi }_{{zx}}}(\alpha ,\beta )}}[j,i],\\{{J}_{{xy}}}=\frac{1}{{24}}\sum\limits_{{j=1}}^{N}{{\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}[j]}}}}\sum\limits_{{i=1}}^{{{{k}_{j}}}}{{{{\tau }_{{xy}}}}}(\alpha ,\beta )[j,i],\,\,\,\,\text{ }\,\,\,\,\,\,\\{{J}_{{yz}}}=\frac{1}{{24}}\sum\limits_{{j=1}}^{N}{{\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}[j]}}}}\sum\limits_{{i=1}}^{{{{k}_{j}}}}{{{{\tau }_{{yz}}}}}(\alpha ,\beta )[j,i],\,\,\,\,\,\,\,\,\\{{J}_{{zx}}}=\frac{1}{{24}}\sum\limits_{{j=1}}^{N}{{\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}[j]}}}}\sum\limits_{{i=1}}^{{{{k}_{j}}}}{{{{\tau }_{{zx}}}}}(\alpha ,\beta )[j,i],\text{ }\\\,\,\end{array}

Таблиця 2 Формули для обчислення елементів поверхневих інтегралів

Поверхневий інтеграл Модифікована формула елемента

криволінійного інтеграла

Скорочене позначення формули
\displaystyle \iint\limits_{\Omega }{{d\sigma }} \displaystyle \begin{array}{l}1.\,\,\frac{1}{{2{{n}_{z}}}}({{x}_{1}}{{y}_{2}}-{{x}_{2}}{{y}_{1}})\\2.\,\,\frac{1}{{2{{n}_{x}}}}({{y}_{1}}{{z}_{2}}-{{y}_{2}}{{z}_{1}})\\3.\,\,\frac{1}{{2{{n}_{y}}}}({{z}_{1}}{{x}_{2}}-{{z}_{2}}{{x}_{1}})\end{array} \displaystyle \frac{1}{{2{{n}_{\gamma }}}}f(\alpha ,\beta )
\displaystyle \iint\limits_{\Omega }{{zd\sigma }} \displaystyle \begin{array}{l}1.\,\,\frac{1}{{6{{n}_{z}}}}f(x,y)\cdot ({{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{0}})\\2.\,\,\frac{1}{{6{{n}_{x}}}}f(y,z)\cdot ({{z}_{1}}+{{z}_{2}})\\3.\,\,\frac{1}{{6{{n}_{y}}}}f(z,x)\cdot ({{z}_{1}}+{{z}_{2}})\end{array} \displaystyle \frac{1}{{6{{n}_{\gamma }}}}{{\xi }_{{xy}}}(\alpha ,\beta )
\displaystyle \iint\limits_{\Omega }{{xd\sigma }} \displaystyle \begin{array}{l}1.\,\,\frac{1}{{6{{n}_{z}}}}f(x,y)\cdot ({{x}_{1}}+{{x}_{2}})\\2.\,\,\frac{1}{{6{{n}_{x}}}}f(y,z)\cdot ({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{0}})\\3.\,\,\frac{1}{{6{{n}_{y}}}}f(z,x)\cdot ({{x}_{1}}+{{x}_{2}})\end{array} \displaystyle \frac{1}{{6{{n}_{\gamma }}}}{{\xi }_{{yz}}}(\alpha ,\beta )
\displaystyle \iint\limits_{\Omega }{{yd\sigma }} \displaystyle \begin{array}{l}1.\,\,\frac{1}{{6{{n}_{z}}}}f(x,y)\cdot ({{y}_{1}}+{{y}_{2}})\\2.\,\,\frac{1}{{6{{n}_{x}}}}f(y,z)\cdot ({{y}_{1}}+{{y}_{2}})\\3.\,\,\frac{1}{{6{{n}_{y}}}}f(z,x)\cdot ({{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{0}})\end{array} \displaystyle \frac{1}{{6{{n}_{\gamma }}}}{{\xi }_{{zx}}}(\alpha ,\beta )
\displaystyle \iint\limits_{\Omega }{{{{z}^{2}}d\sigma }} \displaystyle \begin{array}{l}1.\,\,\frac{1}{{12{{n}_{z}}}}f(x,y)\cdot \left[ {z_{{_{1}}}^{2}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}+z_{2}^{2}+{{z}_{0}}\left( {{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{0}}} \right)} \right]\\2.\,\,\frac{1}{{12{{n}_{x}}}}f(y,z)\cdot \left( {z_{{_{1}}}^{2}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}+z_{2}^{2}} \right)\\3.\,\,\frac{1}{{12{{n}_{y}}}}f(z,x)\cdot \left( {z_{{_{1}}}^{2}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}+z_{2}^{2}} \right)\end{array} \displaystyle \frac{1}{{12{{n}_{\gamma }}}}{{\psi }_{{xy}}}(\alpha ,\beta )
\displaystyle \iint\limits_{\Omega }{{{{x}^{2}}d\sigma }} \displaystyle \begin{array}{l}1.\,\,\frac{1}{{12{{n}_{z}}}}f(x,y)\cdot \left( {x_{{_{1}}}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2}} \right)\\2.\,\,\frac{1}{{12{{n}_{x}}}}f(y,z)\cdot \left[ {x_{{_{1}}}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2}+{{x}_{0}}\left( {{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{0}}} \right)} \right]\\3.\,\,\frac{1}{{12{{n}_{y}}}}f(z,x)\cdot \left( {x_{{_{1}}}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2}} \right)\end{array} \displaystyle \frac{1}{{12{{n}_{\gamma }}}}{{\psi }_{{yz}}}(\alpha ,\beta )
\displaystyle \iint\limits_{\Omega }{{{{y}^{2}}d\sigma }} \displaystyle \begin{array}{l}1.\,\,\frac{1}{{12{{n}_{z}}}}f(x,y)\cdot \left( {y_{1}^{2}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+y_{2}^{2}} \right)\\2.\,\,\frac{1}{{12{{n}_{x}}}}f(y,z)\cdot \left( {y_{1}^{2}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+y_{2}^{2}} \right)\\3.\,\,\frac{1}{{12{{n}_{y}}}}f(z,x)\cdot \left[ {y_{1}^{2}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+y_{2}^{2}+{{y}_{0}}\left( {{{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{0}}} \right)} \right]\end{array} \displaystyle \frac{1}{{12{{n}_{\gamma }}}}{{\psi }_{{zx}}}(\alpha ,\beta )

Продовження таблиці 2

Поверхневий інтеграл Модифікована формула елемента

криволінійного інтеграла

Скорочене позначення формули
\displaystyle \iint\limits_{\Omega }{{xyd\sigma }} \displaystyle \begin{array}{l}1.\,\,\frac{1}{{24{{n}_{z}}}}f(x,y)\cdot \left[ {{{x}_{1}}(2{{y}_{1}}+{{y}_{2}})+{{x}_{2}}({{y}_{1}}+2{{y}_{2}})} \right]\\2.\,\,\frac{1}{{24{{n}_{x}}}}f(y,z)\cdot \left[ {{{x}_{1}}(2{{y}_{1}}+{{y}_{2}})+{{x}_{2}}({{y}_{1}}+2{{y}_{2}})+{{x}_{0}}({{y}_{1}}+{{y}_{2}})} \right]\\3.\,\,\frac{1}{{24{{n}_{y}}}}f(z,x)\cdot \left[ {{{x}_{1}}(2{{y}_{1}}+{{y}_{2}})+{{x}_{2}}({{y}_{1}}+2{{y}_{2}})+{{y}_{0}}({{x}_{1}}+{{x}_{2}})} \right]\end{array} \displaystyle \frac{1}{{24{{n}_{\gamma }}}}{{\tau }_{{xy}}}(\alpha ,\beta )
\displaystyle \iint\limits_{\Omega }{{yzd\sigma }} \displaystyle \begin{array}{l}1.\,\,\frac{1}{{24{{n}_{z}}}}f(x,y)\cdot \left[ {{{y}_{1}}(2{{z}_{1}}+{{z}_{2}})+{{y}_{2}}({{z}_{1}}+2{{z}_{2}})+{{z}_{0}}({{y}_{1}}+{{y}_{2}})} \right]\\2.\,\,\frac{1}{{24{{n}_{x}}}}f(y,z)\cdot \left[ {{{y}_{1}}(2{{z}_{1}}+{{z}_{2}})+{{y}_{2}}({{z}_{1}}+2{{z}_{2}})} \right]\\3.\,\,\frac{1}{{24{{n}_{y}}}}f(z,x)\cdot \left[ {{{y}_{1}}(2{{z}_{1}}+{{z}_{2}})+{{y}_{2}}({{z}_{1}}+2{{z}_{2}})+{{y}_{0}}({{z}_{1}}+{{z}_{2}})} \right]\end{array} \displaystyle \frac{1}{{24{{n}_{\gamma }}}}{{\tau }_{{yz}}}(\alpha ,\beta )
\displaystyle \iint\limits_{\Omega }{{zxd\sigma }} \displaystyle \begin{array}{l}1.\,\,\frac{1}{{24{{n}_{z}}}}f(x,y)\cdot \left[ {{{z}_{1}}(2{{x}_{1}}+{{x}_{2}})+{{z}_{2}}({{x}_{1}}+2{{x}_{2}})+{{z}_{0}}({{x}_{1}}+{{x}_{2}})} \right]\\2.\,\,\frac{1}{{24{{n}_{x}}}}f(y,z)\cdot \left[ {{{z}_{1}}(2{{x}_{1}}+{{x}_{2}})+{{z}_{2}}({{x}_{1}}+2{{x}_{2}})+{{x}_{0}}({{z}_{1}}+{{z}_{2}})} \right]\\3.\,\,\frac{1}{{24{{n}_{y}}}}f(z,x)\cdot \left[ {{{z}_{1}}(2{{x}_{1}}+{{x}_{2}})+{{z}_{2}}({{x}_{1}}+2{{x}_{2}})} \right]\end{array} \displaystyle \frac{1}{{24{{n}_{\gamma }}}}{{\tau }_{{zx}}}(\alpha ,\beta )
\displaystyle \iint\limits_{\Omega }{{xyzd\sigma }} \displaystyle \begin{array}{l}1.\,\frac{1}{{60{{n}_{z}}}}f(x,y)\left\{ {{{x}_{1}}{{y}_{1}}(3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}})+{{x}_{2}}{{y}_{2}}(2{{z}_{1}}+3{{z}_{2}})-\frac{1}{{{{n}_{z}}}}\left[ {{{n}_{x}}(x_{1}^{2}{{y}_{2}}+{{x}_{2}}y_{1}^{2})} \right.} \right.+\\\left. {+\left. {{{n}_{y}}({{x}_{1}}y_{2}^{2}+{{x}_{2}}y_{1}^{2})} \right]+2,5{{z}_{0}}({{x}_{1}}{{y}_{2}}+{{x}_{2}}{{y}_{1}})} \right\}\\\\2.\,\frac{1}{{60{{n}_{x}}}}f(y,z)\left\{ {{{y}_{1}}{{z}_{1}}(3{{x}_{1}}+2{{x}_{2}})+{{y}_{2}}{{z}_{2}}(2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}})-\frac{1}{{{{n}_{x}}}}\left[ {{{n}_{y}}(y_{1}^{2}{{z}_{2}}+{{y}_{2}}z_{1}^{2})} \right.} \right.+\\\left. {+\left. {{{n}_{z}}({{y}_{1}}z_{2}^{2}+{{y}_{2}}z_{1}^{2})} \right]+2,5{{x}_{0}}({{y}_{1}}{{z}_{2}}+{{y}_{2}}{{z}_{1}})} \right\}\\\\3.\,\frac{1}{{60{{n}_{y}}}}f(z,x)\left\{ {{{z}_{1}}{{x}_{1}}(3{{y}_{1}}+2{{y}_{2}})+{{z}_{2}}{{x}_{2}}(2{{y}_{1}}+3{{y}_{2}})-\frac{1}{{{{n}_{y}}}}\left[ {{{n}_{z}}(z_{1}^{2}{{x}_{2}}+{{z}_{2}}x_{1}^{2})} \right.} \right.+\\\left. {+\left. {{{n}_{x}}({{z}_{1}}x_{2}^{2}+{{z}_{2}}x_{1}^{2})} \right]+2,5{{y}_{0}}({{z}_{1}}{{x}_{2}}+{{z}_{2}}{{x}_{1}})} \right\}\end{array} \displaystyle \frac{1}{{60{{n}_{\gamma }}}}\kappa (\alpha ,\beta )
\displaystyle \iint\limits_{\Omega }{{x{{y}^{2}}d\sigma }} \displaystyle \begin{array}{l}1.\,\frac{1}{{60{{n}_{z}}}}f(x,y)\cdot \left[ {{{x}_{1}}{{y}_{1}}(3{{y}_{1}}+2{{y}_{2}})+{{x}_{1}}{{y}_{2}}^{2}+{{x}_{2}}{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}{{y}_{2}}(2{{y}_{1}}+3{{y}_{2}})} \right]\\\\2.\,\frac{1}{{60{{n}_{x}}}}f(y,z)\cdot \left[ {{{x}_{1}}{{y}_{1}}(3{{y}_{1}}+2{{y}_{2}})+{{x}_{1}}{{y}_{2}}^{2}+{{x}_{2}}{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}{{y}_{2}}(2{{y}_{1}}+3{{y}_{2}})+} \right.\\\text{ }+\left. {{{x}_{0}}(y_{1}^{2}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+y_{2}^{2})} \right]\\\\3.\,\frac{1}{{60{{n}_{y}}}}f(z,x)\cdot \left\{ {{{x}_{1}}{{y}_{1}}(3{{y}_{1}}+2{{y}_{2}})+{{x}_{1}}{{y}_{2}}^{2}+{{x}_{2}}{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}{{y}_{2}}(2{{y}_{1}}+3{{y}_{2}})+} \right.\\\text{ }+\left. {{{y}_{0}}\left[ {{{x}_{1}}(2{{y}_{1}}+{{y}_{2}})+{{x}_{2}}({{y}_{1}}+2{{y}_{2}})+{{y}_{0}}({{x}_{1}}+{{x}_{2}})} \right]} \right\}\end{array} \displaystyle \frac{1}{{60{{n}_{\gamma }}}}{{\phi }_{{zx}}}(\alpha ,\beta )

Продовження таблиці 2

Поверхневий інтеграл Модифікована формула елемента

криволінійного інтеграла

Скорочене позначення формули
\displaystyle \iint\limits_{\Omega }{{z{{x}^{2}}d\sigma }} \displaystyle \begin{array}{l}1.\,\frac{1}{{60{{n}_{z}}}}f(x,y)\cdot \left[ {{{z}_{1}}{{x}_{1}}(3{{x}_{1}}+2{{x}_{2}})+{{z}_{1}}{{x}_{2}}^{2}+{{z}_{2}}{{x}_{1}}^{2}+} \right.{{z}_{2}}{{x}_{2}}(2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}})\\\text{ }+\left. {{{z}_{0}}(x_{1}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2})} \right]\\2.\,\frac{1}{{60{{n}_{x}}}}f(y,z)\cdot \left\{ {{{z}_{1}}{{x}_{1}}(3{{x}_{1}}+2{{x}_{2}})+{{z}_{1}}{{x}_{2}}^{2}+{{z}_{2}}{{x}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}{{x}_{2}}(2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}})+} \right.\\\text{ }+\left. {{{x}_{0}}\left[ {{{z}_{1}}(2{{x}_{1}}+{{x}_{2}})+{{z}_{2}}({{x}_{1}}+2{{x}_{2}})+{{x}_{0}}({{z}_{1}}+{{z}_{2}})} \right]} \right\}\\3.\,\frac{1}{{60{{n}_{y}}}}f(z,x)\cdot \left[ {{{z}_{1}}{{x}_{1}}(3{{x}_{1}}+2{{x}_{2}})+{{z}_{1}}{{x}_{2}}^{2}+{{z}_{2}}{{x}_{1}}^{2}+{{z}_{2}}{{x}_{2}}(2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}})} \right]\end{array} \displaystyle \frac{1}{{60{{n}_{\gamma }}}}{{\phi }_{{yz}}}(\alpha ,\beta )
\displaystyle \iint\limits_{\Omega }{{{{x}^{2}}yd\sigma }} \displaystyle \begin{array}{l}1.\,\frac{1}{{60{{n}_{z}}}}f(x,y)\cdot \left[ {{{x}_{1}}{{y}_{1}}(3{{x}_{1}}+2{{x}_{2}})+{{x}_{1}}^{2}{{y}_{2}}+{{x}_{2}}^{2}{{y}_{1}}+{{x}_{2}}{{y}_{2}}(2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}})} \right]\\2.\,\frac{1}{{60{{n}_{x}}}}f(y,z)\cdot \left[ {{{x}_{1}}{{y}_{1}}(3{{x}_{1}}+2{{x}_{2}})+{{x}_{1}}^{2}{{y}_{2}}+{{x}_{2}}^{2}{{y}_{1}}+{{x}_{2}}{{y}_{2}}(2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}})+} \right.\\\text{ }+{{x}_{0}}\left[ {{{y}_{1}}(2{{x}_{1}}+{{x}_{2}})+{{y}_{2}}({{x}_{1}}+2{{x}_{2}})+{{x}_{0}}({{y}_{1}}+{{y}_{2}})} \right]\\3.\,\frac{1}{{60{{n}_{y}}}}f(z,x)\cdot \left\{ {{{x}_{1}}{{y}_{1}}(3{{x}_{1}}+2{{x}_{2}})+{{x}_{1}}^{2}{{y}_{2}}+{{x}_{2}}^{2}{{y}_{1}}+{{x}_{2}}{{y}_{2}}(2{{x}_{1}}+3{{x}_{2}})+} \right.\\\text{ }+\left. {{{y}_{0}}(x_{1}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2})} \right\}\end{array} \displaystyle \frac{1}{{60{{n}_{\gamma }}}}{{\mu }_{{zx}}}(\alpha ,\beta )
\displaystyle \iint\limits_{\Omega }{{{{y}^{2}}zd\sigma }} \displaystyle \begin{array}{l}1.\,\frac{1}{{60{{n}_{z}}}}f(x,y)\cdot \left\{ {{{y}_{1}}{{z}_{1}}(3{{y}_{1}}+2{{y}_{2}})+{{y}_{1}}^{2}{{z}_{2}}+{{y}_{2}}^{2}{{z}_{1}}+{{y}_{2}}{{z}_{2}}(2{{y}_{1}}+3{{y}_{2}})+} \right.\\\text{ }+\left. {{{z}_{0}}(y_{1}^{2}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+y_{2}^{2})} \right\}\\2.\,\frac{1}{{60{{n}_{x}}}}f(y,z)\cdot \left[ {{{y}_{1}}{{z}_{1}}(3{{y}_{1}}+2{{y}_{2}})+{{y}_{1}}^{2}{{z}_{2}}+{{y}_{2}}^{2}{{z}_{1}}+{{y}_{2}}{{z}_{2}}(2{{y}_{1}}+3{{y}_{2}})} \right]\\3.\,\frac{1}{{60{{n}_{y}}}}f(z,x)\cdot \left[ {{{y}_{1}}{{z}_{1}}(3{{y}_{1}}+2{{y}_{2}})+{{y}_{1}}^{2}{{z}_{2}}+{{y}_{2}}^{2}{{z}_{1}}+{{y}_{2}}{{z}_{2}}(2{{y}_{1}}+3{{y}_{2}})+} \right.\\+\left. {{{y}_{0}}\left[ {{{z}_{1}}(2{{y}_{1}}+{{y}_{2}})+{{z}_{2}}({{y}_{1}}+2{{y}_{2}})+{{y}_{0}}({{z}_{1}}+{{z}_{2}})} \right]} \right]\end{array} \displaystyle \frac{1}{{60{{n}_{\gamma }}}}{{\mu }_{{xy}}}(\alpha ,\beta )
\displaystyle \iint\limits_{\Omega }{{{{z}^{2}}xd\sigma }} \displaystyle \begin{array}{l}1.\,\frac{1}{{60{{n}_{z}}}}f(x,y)\cdot \left[ {{{z}_{1}}{{x}_{1}}(3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}})+{{z}_{1}}^{2}{{x}_{2}}+{{z}_{2}}^{2}{{x}_{1}}+{{z}_{2}}{{x}_{2}}(2{{z}_{1}}+3{{z}_{2}})+} \right.\\\text{ }+\left. {{{z}_{0}}\left[ {{{x}_{1}}(2{{z}_{1}}+{{z}_{2}})+{{x}_{2}}({{z}_{1}}+2{{z}_{2}})+{{z}_{0}}({{x}_{1}}+{{x}_{2}})} \right]} \right]\\2.\,\frac{1}{{60{{n}_{x}}}}f(y,z)\cdot \left\{ {{{z}_{1}}{{x}_{1}}(3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}})+{{z}_{1}}^{2}{{x}_{2}}+{{z}_{2}}^{2}{{x}_{1}}+} \right.{{z}_{2}}{{x}_{2}}(2{{z}_{1}}+3{{z}_{2}})\\\text{ }\left. {+{{x}_{0}}(z_{1}^{2}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}+z_{2}^{2})} \right\}\\3.\,\frac{1}{{60{{n}_{y}}}}f(z,x)\cdot \left[ {{{z}_{1}}{{x}_{1}}(3{{z}_{1}}+2{{z}_{2}})+{{z}_{1}}^{2}{{x}_{2}}+{{z}_{2}}^{2}{{x}_{1}}+{{z}_{2}}{{x}_{2}}(2{{z}_{1}}+3{{z}_{2}})} \right]\end{array} \displaystyle \frac{1}{{60{{n}_{\gamma }}}}{{\mu }_{{yz}}}(\alpha ,\beta )
\displaystyle \iint\limits_{\Omega }{{{{x}^{3}}d\sigma }} \displaystyle \begin{array}{l}1.\,\frac{1}{{20{{n}_{z}}}}f(x,y)\cdot (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})({{x}_{1}}+{{x}_{2}})\\2.\,\frac{1}{{20{{n}_{x}}}}f(y,z)\cdot \left\{ {(x_{1}^{2}+x_{2}^{2})({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+{{x}_{0}}\left[ {x_{1}^{2}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+x_{2}^{2}+{{x}_{0}}({{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{0}})} \right]} \right\}\\3.\,\frac{1}{{20{{n}_{y}}}}f(z,x)\cdot (x_{1}^{2}+x_{2}^{2})({{x}_{1}}+{{x}_{2}})\end{array} \displaystyle \frac{1}{{20{{n}_{\gamma }}}}{{\rho }_{{yz}}}(\alpha ,\beta )

Продовження таблиці 2

Поверхневий інтеграл Модифікована формула елемента

криволінійного інтеграла

Скорочене позначення формули
\displaystyle \iint\limits_{\Omega }{{{{y}^{3}}d\sigma }} \displaystyle \begin{array}{l}1.\,\frac{1}{{20{{n}_{z}}}}f(x,y)\cdot (y_{1}^{2}+y_{2}^{2})({{y}_{1}}+{{y}_{2}})\\2.\,\frac{1}{{20{{n}_{x}}}}f(y,z)\cdot (y_{1}^{2}+y_{2}^{2})({{y}_{1}}+{{y}_{2}})\\3.\,\frac{1}{{20{{n}_{y}}}}f(z,x)\cdot \left\{ {(y_{1}^{2}+y_{2}^{2})({{y}_{1}}+{{y}_{2}})+} \right.\\\text{ }+\left. {{{y}_{0}}\left[ {y_{1}^{2}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+y_{2}^{2}+{{y}_{0}}({{y}_{1}}+{{y}_{2}}+{{y}_{0}})} \right]} \right\}\end{array} \displaystyle \frac{1}{{20{{n}_{\gamma }}}}{{\rho }_{{zx}}}(\alpha ,\beta )
\displaystyle \iint\limits_{\Omega }{{{{z}^{3}}d\sigma }} \displaystyle \begin{array}{l}1.\,\frac{1}{{20{{n}_{z}}}}f(x,y)\cdot \left\{ {(z_{1}^{2}+z_{2}^{2})({{z}_{1}}+{{z}_{2}})+{{z}_{0}}\left[ {z_{1}^{2}+{{z}_{1}}{{z}_{2}}+z_{2}^{2}+{{z}_{0}}({{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{0}})} \right]} \right\}\\2.\,\frac{1}{{20{{n}_{x}}}}f(y,z)\cdot (z_{1}^{2}+z_{2}^{2})({{z}_{1}}+{{z}_{2}})\\3.\,\frac{1}{{20{{n}_{y}}}}f(z,x)\cdot (z_{1}^{2}+z_{2}^{2})({{z}_{1}}+{{z}_{2}})\end{array} \displaystyle \frac{1}{{20{{n}_{\gamma }}}}{{\rho }_{{xy}}}(\alpha ,\beta )

Поліедр

Геометричні характеристики поліедра визначаються як потрійні інтеграли:

\displaystyle \begin{array}{l}V=\iiint\limits_{V}{{dv,}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{S}_{{xy}}}=\iiint\limits_{V}{{zdv}},\,\,\,\,\,\,\,\,{{S}_{{yz}}}=\iiint\limits_{V}{{xdv}},\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{S}_{{zx}}}=\iiint\limits_{V}{{ydv}},\,\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{J}_{{xy}}}=\iiint\limits_{V}{{{{z}^{2}}}}dv,\,\,\,\,\,\,{{J}_{{yz}}}=\iiint\limits_{V}{{{{x}^{2}}dv}}\,,\,\,\,\,\,\,\,{{J}_{{zx}}}=\iiint\limits_{V}{{{{y}^{2}}dv}},\,\,\,\,\,\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{{I}_{{xy}}}=\iiint\limits_{V}{{xydv}}\,\,\,\,\,\,\,\,{{I}_{{yz}}}=\iiint\limits_{V}{{yzdv}}\,,\,\,\,\,\,\,\,{{I}_{{zx}}}=\iiint\limits_{V}{{zxdv}}\,.\,\end{array}

Решта моментів інерції (три осьових і центральний) знаходяться з використання знайдених величин за формулами:

Ixx=Jxy+Jzx, Iyy=Jxy+Jyz, Izz=Jyz+Jzx, Io=Jxy+Jyz+Jzx

Застосовуючи формулу Остроградського-Гаусса, можна перетворити потрійний інтеграл на поверхневий:

\displaystyle \iiint\limits_{V}{{F(x,y,z)dV=}}\iiint\limits_{V}{{\left( {\frac{{\partial P}}{{\partial x}}+\frac{{\partial Q}}{{\partial y}}+\frac{{\partial R}}{{\partial z}}} \right)dV=\mathop{{\int\!\!\!\!\!\int}\mkern-21mu \bigcirc}\limits_\Omega    {(Pcos\alpha +Qcos\beta +Rcos\gamma )d\sigma .} }}

Оскільки поверхня, що обмежує поліедр, складається з плоских граней, то поверхневі інтеграли можна обчислити як суму поверхневих інтегралів по кожній з окремих плоских граней з застосуванням формул Табл. 2.

Допоміжні функції P, Q, R у даному випадку можна вибрати багатьма способами. Очевидно, що з точки зору простоти формул доцільно обирати лише одну функцію відмінною від нуля. Але тут теж не можна обмежуватися вибором лише однієї певної функції.

На вибір не нульової функції може вплинути конкретний склад граней. Наприклад, якщо відсоток граней поліедра, для яких nx=0, то доцільно під час обчислення використовувати формули, що відповідають випадку P0. Якщо ж не зважати на можливість скорочення обчислень за рахунок пропуску граней з нульовим напрямним косинусом, то, очевидно, вибір функції не буде впливати на ефективність обчислень.

Нижче у Табл. 3. для кожного інтеграла наведені по три формули для кожного варіанта вибору не нульової функції.

Таблиця 3 Формули для обчислення елементів потрійних інтегралів

Інтеграл Формула елемента поверхневого інтеграла Елемент криволінійного інтеграла Скорочене позначення формули
\displaystyle \iiint\limits_{V}{{dV}} \displaystyle \begin{array}{l}{{n}_{x}}\iint\limits_{\Omega }{{xd\sigma }}\\{{n}_{y}}\iint\limits_{\Omega }{{yd\sigma }}\\{{n}_{z}}\iint\limits_{\Omega }{{zd\sigma }}\end{array} \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{{6{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{x}}{{\xi }_{{yz}}}(\alpha ,\beta )\\\frac{1}{{6{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{y}}{{\xi }_{{zx}}}(\alpha ,\beta )\\\frac{1}{{6{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{z}}{{\xi }_{{xy}}}(\alpha ,\beta )\end{array} \displaystyle \frac{1}{6}{{n}_{\nu }}\frac{1}{{{{n}_{\Upsilon }}}}v(\alpha ,\beta )
\displaystyle \iiint\limits_{V}{{ydV}} \displaystyle \begin{array}{l}{{n}_{x}}\iint\limits_{\Omega }{{xyd\sigma }}\\\frac{1}{2}{{n}_{y}}\iint\limits_{\Omega }{{{{y}^{2}}d\sigma }}\\{{n}_{z}}\iint\limits_{\Omega }{{yzd\sigma }}\end{array} \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{{24{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{x}}{{\tau }_{{xy}}}(\alpha ,\beta )\\\frac{1}{{24{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{y}}{{\psi }_{{zx}}}(\alpha ,\beta )\\\frac{1}{{24{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{z}}{{\tau }_{{yz}}}(\alpha ,\beta )\end{array} \displaystyle \frac{1}{{24}}{{n}_{\nu }}\frac{1}{{{{n}_{\Upsilon }}}}{{s}_{{zx}}}(\alpha ,\beta )

Продовження Таблиці 3

Інтеграл Формула елемента поверхневого інтеграла Елемент криволінійного інтеграла Скорочене позначення формули
\displaystyle \iiint\limits_{V}{{zdV}} \displaystyle \begin{array}{l}{{n}_{x}}\iint\limits_{\Omega }{{zxd\sigma }}\\{{n}_{y}}\iint\limits_{\Omega }{{yzd\sigma }}\\\frac{1}{2}{{n}_{z}}\iint\limits_{\Omega }{{{{z}^{2}}d\sigma }}\end{array} \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{{24{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{x}}{{\tau }_{{zx}}}(\alpha ,\beta )\\\frac{1}{{24{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{y}}{{\tau }_{{yz}}}(\alpha ,\beta )\\\frac{1}{{24{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{z}}{{\psi }_{{xy}}}(\alpha ,\beta )\end{array} \displaystyle \frac{1}{{24}}{{n}_{\nu }}\frac{1}{{{{n}_{\Upsilon }}}}{{s}_{{xy}}}(\alpha ,\beta )
\displaystyle \iiint\limits_{V}{{xdV}} \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}{{n}_{x}}\iint\limits_{\Omega }{{{{x}^{2}}d\sigma }}\\{{n}_{y}}\iint\limits_{\Omega }{{yxd\sigma }}\\{{n}_{z}}\iint\limits_{\Omega }{{zxd\sigma }}\end{array} \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{{24{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{x}}{{\psi }_{{yz}}}(\alpha ,\beta )\\\,\frac{1}{{24{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{y}}{{\tau }_{{xy}}}(\alpha ,\beta )\\\frac{1}{{24{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{z}}{{\tau }_{{yz}}}(\alpha ,\beta )\end{array} \displaystyle \frac{1}{{24}}{{n}_{\nu }}\frac{1}{{{{n}_{\Upsilon }}}}{{s}_{{yz}}}(\alpha ,\beta )
\displaystyle \iiint\limits_{V}{{{{y}^{2}}dV}} \displaystyle \begin{array}{l}{{n}_{x}}\iint\limits_{\Omega }{{x{{y}^{2}}d\sigma }}\\\frac{1}{3}{{n}_{y}}\iint\limits_{\Omega }{{{{y}^{3}}d\sigma }}\\{{n}_{z}}\iint\limits_{\Omega }{{{{y}^{2}}zd\sigma }}\end{array} \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{{60{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{x}}{{\phi }_{{zx}}}(\alpha ,\beta )\\\frac{1}{{60{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{y}}{{\rho }_{{zx}}}(\alpha ,\beta )\\\frac{1}{{60{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{z}}{{\mu }_{{xy}}}(\alpha ,\beta )\end{array} \displaystyle \frac{1}{{60}}{{n}_{\nu }}\frac{1}{{{{n}_{\Upsilon }}}}{{j}_{{zx}}}(\alpha ,\beta )
\displaystyle \iiint\limits_{V}{{{{z}^{2}}dV}} \displaystyle \begin{array}{l}{{n}_{x}}\iint\limits_{\Omega }{{x{{z}^{2}}d\sigma }}\\{{n}_{y}}\iint\limits_{\Omega }{{y{{z}^{2}}d\sigma }}\\\frac{1}{3}{{n}_{z}}\iint\limits_{\Omega }{{{{z}^{3}}d\sigma }}\end{array} \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{{60{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{x}}{{\mu }_{{yz}}}(\alpha ,\beta )\\\frac{1}{{60{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{y}}{{\phi }_{{xy}}}(\alpha ,\beta )\\\frac{1}{{60{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{z}}{{\rho }_{{xy}}}(\alpha ,\beta )\end{array} \displaystyle \frac{1}{{60}}{{n}_{\nu }}\frac{1}{{{{n}_{\Upsilon }}}}{{j}_{{xy}}}(\alpha ,\beta )
\displaystyle \iiint\limits_{V}{{{{x}^{2}}dV}} \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{3}{{n}_{x}}\iint\limits_{\Omega }{{{{x}^{3}}d\sigma }}\\{{n}_{y}}\iint\limits_{\Omega }{{{{x}^{2}}yd\sigma }}\\{{n}_{z}}\iint\limits_{\Omega }{{{{x}^{2}}zd\sigma }}\end{array} \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{{60{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{x}}{{\rho }_{{yz}}}(\alpha ,\beta )\\\frac{1}{{60{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{y}}{{\mu }_{{zx}}}(\alpha ,\beta )\\\frac{1}{{60{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{z}}{{\phi }_{{yz}}}(\alpha ,\beta )\end{array} \displaystyle \frac{1}{{60}}{{n}_{\nu }}\frac{1}{{{{n}_{\Upsilon }}}}{{j}_{{yz}}}(\alpha ,\beta )

Продовження Таблиці 3

Інтеграл Формула елемента поверхневого інтеграла Елемент криволінійного інтеграла Скорочене позначення формули
\displaystyle \iiint\limits_{V}{{zxdV}} \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}{{n}_{x}}\iint\limits_{\Omega }{{{{x}^{2}}zd\sigma }}\\{{n}_{y}}\iint\limits_{\Omega }{{xyzd\sigma }}\\\frac{1}{2}{{n}_{z}}\iint\limits_{\Omega }{{x{{z}^{2}}d\sigma }}\end{array} \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{{60{{n}_{\Upsilon }}}}\cdot \frac{1}{2}{{n}_{x}}{{\phi }_{{yz}}}(\alpha ,\beta )\\\frac{1}{{60{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{y}}\kappa (\alpha ,\beta )\\\frac{1}{{60{{n}_{\Upsilon }}}}\cdot \frac{1}{2}{{n}_{z}}{{\mu }_{{yz}}}(\alpha ,\beta )\end{array} \displaystyle \frac{1}{{60}}{{n}_{\nu }}\frac{1}{{{{n}_{\Upsilon }}}}{{i}_{{zx}}}(\alpha ,\beta )
\displaystyle \iiint\limits_{V}{{xydV}} \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{2}{{n}_{x}}\iint\limits_{\Omega }{{{{x}^{2}}yd\sigma }}\\\frac{1}{2}{{n}_{y}}\iint\limits_{\Omega }{{x{{y}^{2}}d\sigma }}\\{{n}_{z}}\iint\limits_{\Omega }{{xyzd\sigma }}\end{array} \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{{60{{n}_{\Upsilon }}}}\cdot \frac{1}{2}{{n}_{x}}{{\mu }_{{zx}}}(\alpha ,\beta )\\\frac{1}{{60{{n}_{\Upsilon }}}}\cdot \frac{1}{2}{{n}_{y}}{{\phi }_{{zx}}}(\alpha ,\beta )\\\frac{1}{{60{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{z}}\kappa (\alpha ,\beta )\end{array} \displaystyle \frac{1}{{60}}{{n}_{\nu }}\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}}}{{i}_{{xy}}}(\alpha ,\beta )
\displaystyle \iiint\limits_{V}{{yzdV}} \displaystyle \begin{array}{l}{{n}_{x}}\iint\limits_{\Omega }{{xyzd\sigma }}\\\frac{1}{2}{{n}_{y}}\iint\limits_{\Omega }{{{{y}^{2}}zd\sigma }}\\\frac{1}{2}{{n}_{z}}\iint\limits_{\Omega }{{y{{z}^{2}}d\sigma }}\end{array} \displaystyle \begin{array}{l}\frac{1}{{60{{n}_{\Upsilon }}}}{{n}_{x}}\kappa (\alpha ,\beta )\\\frac{1}{{60{{n}_{\Upsilon }}}}\cdot \frac{1}{2}{{n}_{y}}{{\mu }_{{xy}}}(\alpha ,\beta )\\\frac{1}{{60{{n}_{\Upsilon }}}}\cdot \frac{1}{2}{{n}_{z}}{{\phi }_{{xy}}}(\alpha ,\beta )\end{array} \displaystyle \frac{1}{{60}}{{n}_{\nu }}\frac{1}{{{{n}_{\Upsilon }}}}{{i}_{{yz}}}(\alpha ,\beta )

Оскільки поверхня поліедра складається з N граней, формули для обчислення його геометричних характеристик будуть мати такий вигляд:

\displaystyle \begin{array}{l}V=\frac{1}{6}{{n}_{\nu }}\sum\limits_{{j=1}}^{N}{{\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}[j]}}\sum\limits_{{i=1}}^{{{{k}_{j}}}}{{v(\alpha ,\beta )[j,i]}}}},\\{{S}_{{xy}}}=\frac{1}{{24}}{{n}_{\nu }}\sum\limits_{{j=1}}^{N}{{\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}[j]}}}}\sum\limits_{{i=1}}^{{{{k}_{j}}}}{{{{s}_{{xy}}}}}(\alpha ,\beta )[j,i]\,,\,\text{ }\\{{S}_{{yz}}}=\frac{1}{{24}}{{n}_{\nu }}\sum\limits_{{j=1}}^{N}{{\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}[j]}}}}\sum\limits_{{i=1}}^{{{{k}_{j}}}}{{{{s}_{{yz}}}}}(\alpha ,\beta )[j,i]\,,\,\,\\{{S}_{{zx}}}=\frac{1}{{24}}{{n}_{\nu }}\sum\limits_{{j=1}}^{N}{{\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}[j]}}}}\sum\limits_{{i=1}}^{{{{k}_{j}}}}{{{{s}_{{zx}}}}}(\alpha ,\beta )[j,i],\,\,\text{ }\end{array}

\displaystyle \begin{array}{l}{{J}_{{xy}}}=\frac{1}{{24}}{{n}_{\nu }}\sum\limits_{{j=1}}^{N}{{\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}[j]}}}}\sum\limits_{{i=1}}^{{{{k}_{j}}}}{{{{j}_{{xy}}}(\alpha ,\beta )}}[j,i],\,\,\\{{J}_{{yz}}}=\frac{1}{{24}}{{n}_{\nu }}\sum\limits_{{j=1}}^{N}{{\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}[j]}}}}\sum\limits_{{i=1}}^{{{{k}_{j}}}}{{{{j}_{{yz}}}(\alpha ,\beta )}}[j,i],\,\,\\{{J}_{{zx}}}=\frac{1}{{24}}{{n}_{\nu }}\sum\limits_{{j=1}}^{N}{{\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}[j]}}}}\sum\limits_{{i=1}}^{{{{k}_{j}}}}{{{{j}_{{zx}}}(\alpha ,\beta )}}[j,i],\\{{I}_{{xy}}}=\frac{1}{{60}}{{n}_{\nu }}\sum\limits_{{j=1}}^{N}{{\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}[j]}}}}\sum\limits_{{i=1}}^{{{{k}_{j}}}}{{{{i}_{{xy}}}}}(\alpha ,\beta )[j,i],\,\,\,\,\,\\\,{{I}_{{yz}}}=\frac{1}{{60}}{{n}_{\nu }}\sum\limits_{{j=1}}^{N}{{\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}[j]}}}}\sum\limits_{{i=1}}^{{{{k}_{j}}}}{{{{i}_{{yz}}}}}(\alpha ,\beta )[j,i],\\{{I}_{{zx}}}=\frac{1}{{60}}{{n}_{\nu }}\sum\limits_{{j=1}}^{N}{{\frac{1}{{{{n}_{\gamma }}[j]}}}}\sum\limits_{{i=1}}^{{{{k}_{j}}}}{{{{i}_{{zx}}}}}(\alpha ,\beta )[j,i],\\\text{ }\end{array}

Висновки

  1. Отримані прості формули для обчислення геометричних характеристик областей заданих двовимірними й тривимірними клітинними комплексами. Для використання формул потрібно перенумерувати вершини комплексу, задати їх декартові координати у правій системі координат, описати грані комплексу списками вершин полігонів, що обмежують грані. Списки складаються обходом грані проти годинникової стрілки, якщо дивитися зі сторони зовнішньої нормалі грані. Якщо використовується ліва система координат обхід слід здійснювати за годинноковою стрілкою.
  2. Формули можуть застосовуватися до обчислення окремих характеристик без обчислення решти.
  3. Виведені формули не приводять до виникнення малих різниць близьких величин за рахунок аналітичного виключення членів суми, що мають однаковий модуль, але протилежні за знаком, що робить їх стійкими до обчислювальних похибок.
  4. Знайшла підтвердження гіпотеза Девіда Еберлі [5] про можливість отримання спрощених виразів для обчислення інтегралів способом проекцій, використаного Брайаном Міртічем [4].
  5. На основі отриманих формул можливо побудувати ефективні алгоритми, розробці й аналізу яких має бути присвячена окрема стаття.

ЛІТЕРАТУРА

  1. Корн, Г. Справочник по математике [для инженеров и научных работников] [текст] / Г. Корн, Т. Корн. – М.: Наука, 1973. – 831 с.
  2. Рохлин, В. А. Начальный курс топологии. Геометрические главы. [текст] / В.А. Рохлин, Д.Б Фукс.– М.: Наука, 1977. – 487 с.
  3. Мак-Кракен, Д. Численные методы и программирование на Фортране [текст] / Д. Мак-Кракен, У. Дорн. – М.: Мир, 1977. – 584 с.
  4. Mirtich, B. Fast and Accurate Computation of Polihedral Mass Properties [text] / B. Mirtich // Journal of graphics tools. – 1996. vol. 1, no. 2. – pp. 31–50.
  5. Eberly, D. Polyhedral Mass Properties. Geometric Tools, Last Modified [електроний ресурс] / D.Eberly. – Pежим доступу : http://www.magic-software.com/Documentation/PolyhedralMassProperties.pdf.
Effective-algorithm-for-calculation-of-geometrical-characteristics-in-Ukrainian.pdf